Кез-келген үшбұрыштың ауданы

Үшбұрыш бір түзуге жатпайтын үш нүкте кесіндісімен қосылады. Бұл жағдайда нүктелер үшбұрыштың ауданы, ал кесінділер — оның жағы деп аталады. Үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың (a) негізінің жартысын оның биіктігіне (h): 1. S= 1 2 a h.

Төменде сипаттарына, бұрыштарына немесе өлшемдеріне қарамастан, кез келген үшбұрыштың ауданын табу үшін қолайлы еркін үшбұрыштың ауданын табу формуласы келтірілген. Формулалар сурет түрінде берілген, мұнда қолдану немесе олардың дұрыстығын негіздеу бойынша түсініктемелер келтірілген. Сондай-ақ жеке суретте формуладағы әріптік белгілердің және сызбадағы графикалық белгілердің сәйкестігі көрсетілген.

Ескерту. Егер Үшбұрыш ерекше қасиеттерге ие болса (тең Сан, тікбұрышты, тең жан-жақты), төменде келтірілген формулаларды қолдануға болады, сондай-ақ қосымша арнайы, тек осы қасиеттері бар үшбұрыштар үшін, формулалар:

«Тең Сан Үшбұрыш алаңының формулалары»
«Тікбұрышты үшбұрыш алаңының формулалары»
«Тең жақты үшбұрыш алаңының формулалары»
Үшбұрыштың жақтары мен бұрыштарының қабылданған белгілері. Прийняті позначення сторін і кутів трикутника.
Үшбұрыш алаңының формулалары

Еркін үшбұрыштың ауданын жақтары, бұрыштары, олардың арасындағы тригонометриялық қатынастар арқылы есептеуге арналған әмбебап формулалар

Формулаларға түсініктеме:
a, b, c-біз іздегіміз келетін үшбұрыштың жақтарының ұзындығы
R-шеңбердің үшбұрышына жазылған радиусы
Шеңбердің үшбұрышының айналасында сипатталған R-радиусы
h-жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі
p-үшбұрыштың жартылай периметрі, оның жақтары (периметр)
α-бұрыш, үшбұрыштың А қарсы жағында
B үшбұрыштың B жағына қарсы орналасқан β — бұрыш
γ-бұрыш, үшбұрыштың қарама-қарсы жағында
ha, hb, hc-A, b, c жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі

Геометриялық бойынша нақты тапсырманы шешу кезінде формуланың қажетті орындарына дұрыс мәндерді қою оңайырақ болу үшін жоғарыда көрсетілген белгілердің сәйкес келетініне назар аударыңыз.

Үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың биіктігінің жартысына тең. Бұл формуланың дұрыстығын логикалық түсінуге болады. Табанға түсірілген биіктігі екі тікбұрышты үшбұрышты бөлшектейді. Егер олардың әрқайсысын B және h өлшемімен тікбұрышқа дейін салса, онда осы үшбұрыштың ауданы тікбұрыш алаңының тең болады (Ѕпр = bh)
Үшбұрыштың ауданы олардың арасындағы синус бұрышына екі жақ туындысының жартысына тең (2-Формула) (осы формуланы пайдалана отырып, есепті шешу үлгісін төменде қараңыз). Ол алдыңғы қарағанда нашар болып көрінсе де, ол оңай түрлендірілуі мүмкін. Егер B бұрышынан биіктікті b жағына түсірсе, онда A тарапының γ бұрышының синусына көбейтіндісі тік бұрышты үшбұрыштағы синус қасиеттері бойынша біз жүргізген үшбұрыштың биіктігіне тең болады, бұл бізге алдыңғы формуланы береді
Еркін үшбұрыштың ауданы шеңбердің жартысын оның барлық жақтарының ұзындығының сомасына (3-Формула) көбейтіндісі арқылы табылуы мүмкін, қарапайым айтқанда, үшбұрыштың жартылай периметрі сәйкес шеңбердің радиусына көбейту керек (есте сақтау оңай)
Еркін үшбұрыштың ауданын оның барлық жақтарының жұмысын айналасында сипатталған шеңбердің 4 радиусына бөле отырып табуға болады (Формула 4)
5-Формула үшбұрыштың ауданын оның жақтарының ұзындығы және оның жартылай периметрі арқылы табу болып табылады (оның барлық жақтары сомасының жартысы)
Герон формуласы (6) — жартылай периметр ұғымын пайдаланбай, тек жақтардың ұзындығы арқылы бірдей формуланы ұсыну
Еркін үшбұрыштың ауданы үшбұрыштың жақтағы квадрат квадратының осы жаққа жақын бұрыштардың синусына тең (7 Формула)
Еркін үшбұрыштың ауданын оның бұрыштарының әрқайсысының синустарына шеңбердің айналасында сипатталған екі квадраттың туындысы ретінде табуға болады. (Формула 8)
Егер бір жағының ұзындығы мен оған іргелес екі бұрыштардың шамасы белгілі болса, онда үшбұрыштың ауданы осы бұрыштардың котангенттерінің Қос сомасына бөлінген осы Тараптың квадраты ретінде табылуы мүмкін (9 Формула))
Егер үшбұрыштың әрбір биіктігінің ұзындығы ғана белгілі болса (Формула 10), онда мұндай үшбұрыштың ауданы Герон формуласы бойынша осы биіктіктердің ұзындығына тең
11-Формула үшбұрыштың ауданын оның шыңдарының координаттары бойынша есептеуге мүмкіндік береді. Алынған мәнді модуль бойынша алу қажет екенін ескеріңіз, өйткені жекелеген (немесе тіпті барлық) шыңдардың координаттары теріс мәндер аумағында болуы мүмкін
См. сондай-ақ, алаңы равнобедренного үшбұрыш.

Ескерту. Бұдан әрі үшбұрыштың ауданын табуға геометрия бойынша есептерді шешу мысалдары келтірілген. Егер сізге геометрия бойынша тапсырманы шешу қажет болса, онда жоқ — форумда бұл туралы жазыңыз. Шешімдерде «квадрат түбірі» символының орнына sqrt () функциясы қолданылуы мүмкін, онда sqrt — квадрат түбірінің символы, ал жақшада түбір өрнегі көрсетілген. Кейде қарапайым күрделі өрнектер үшін √символы пайдаланылуы мүмкін

Міндет. Екі жағынан және олардың арасындағы бұрышында алаңды табу
Олардың арасындағы бұрыш 60 градус. Үшбұрыштың ауданын табыңыз.

Шешімі.

Осы мәселені шешу үшін сабақтың теориялық бөлімінің екі нөмірі формуласын қолданамыз.
Үшбұрыштың ауданы екі жағынан және олардың арасындағы бұрыштың синусы арқылы табылуы мүмкін және тең болады
S=1/2 ab sin γ

Шешім үшін барлық қажетті деректер (формулаға сәйкес) бар болғандықтан, біз тапсырма шарттарынан формулаға мәндерді қою ғана қалады:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Тригонометриялық функциялардың мәндер кестесінде 60 градус синус мәнін табамыз және өрнегіне қоямыз. Ол үш-екіден екі тамырға тең болады.
S = 15 √3 / 2

Жауап: 7,5 √3 (оқытушының талаптарына байланысты 15 √3/2 қалдыруға болады)

Міндет. Тең жақты үшбұрыштың ауданын табу
3см жағы бар тең жақты үшбұрыштың ауданын табу.

Басқа да ұқсас мәліметтер

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *